Problém o králících středověkého matematika Leonarda Fibonacciho

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 03:50

Spočítejte si, jaké potomky dá pár zvířat do začátku příštího roku.

Leonardo Fibonacci byl vynikající středověký matematik. Předpokládá se, že to byl on, kdo zavedl arabské číslice do používání. V knize The Book of the Abacus, díle, které vysvětluje a podporuje desítkovou aritmetiku, Fibonacci uvádí svůj slavný problém s králíky. Zkuste to vyřešit.

Začátkem ledna byl pár novorozených králíků (samec a samice) umístěn do kotce, oplocený ze všech stran. Kolik párů králíků vyprodukují začátkem příštího roku? Je nutné vzít v úvahu následující podmínky:

• Králíci dosáhnou pohlavní dospělosti dva měsíce po narození, tedy začátkem třetího měsíce života.
• Na začátku každého měsíce každý pohlavně dospělý pár porodí pouze jeden pár.
• Zvířata se rodí vždy v páru "jedna samice + jeden samec".
• Králíci jsou nesmrtelní, dravci je nemohou jíst.

Podívejme se, jak roste počet králíků v prvních šesti měsících:

měsíc 1. Jeden pár mladých králíků.

měsíc 2. Stále existuje jeden původní pár. Králíci ještě nedosáhli plodného věku.

3. měsíc Dva páry: ten původní v plodném věku + pár mladých králíčků, které porodila.

měsíc 4. Tři páry: jeden původní pár + jeden pár králíků, které porodila na začátku měsíce + jeden pár králíků, kteří se narodili ve třetím měsíci, ale ještě nedosáhli puberty.

5. měsíc Pět párů: jeden původní pár + jeden pár narozený ve třetím měsíci a dosáhl plodného věku + dva nové páry, které porodily + jeden pár, který se narodil ve čtvrtém měsíci, ale ještě nedospěl.

6. měsíc Osm párů: pět párů z minulého měsíce + tři novorozené páry. Atd.

Aby to bylo přehlednější, zapišme si přijatá data do tabulky:

Pokud pečlivě prozkoumáte tabulku, můžete identifikovat následující vzorec. Pokaždé, když se počet králíků přítomných v n-tém měsíci rovná počtu králíků v (n - 1) předchozím měsíci, sečte se s počtem nově narozených králíků. Jejich počet se zase rovná celkovému počtu zvířat k (n - 2) měsíci (což bylo před dvěma měsíci). Odtud můžete odvodit vzorec:

F = F_n-1+ F_n-2, kde F - celkový počet párů králíků v n-tém měsíci, F_n-1 je celkový počet párů králíků v předchozím měsíci a F_n-2 - celkový počet párů králíků před dvěma měsíci.

Spočítejme si pomocí toho počet zvířat v následujících měsících:

7. měsíc 8 + 5 = 13.

8. měsíc 13 + 8 = 21.

Měsíc 9. 21 + 13 = 34.

10. měsíc. 34 +21 = 55.

Měsíc 11. 55 + 34 = 89.

12. měsíc. 89 + 55 = 144.

13. měsíc (začátek příštího roku). 144 + 89 = 233.

Na začátku 13. měsíce, tedy na konci roku, budeme mít 233 párů králíků. Z toho bude 144 dospělých a 89 mladých. Výsledná posloupnost 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 se nazývá Fibonacciho čísla. V něm se každé nové konečné číslo rovná součtu dvou předchozích.

Zobrazit odpověď Skrýt odpověď