Nahá statistika je nejzajímavější kniha o nejnudnější vědě

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 03:50

Kdo řekl, že statistika je nudná a zbytečná věda? Charles Wheelan přesvědčivě tvrdí, že tomu tak zdaleka není. Dnes zveřejňujeme úryvek z jeho knihy o tom, jak pomocí statistik vyhrát auto, ne kozu, a pochopíme, že intuice vás může vyvést z omylu.

Monty Hall Riddle

Záhada Montyho Halla je slavný problém v teorii pravděpodobnosti, který zmátl účastníky herní show nazvané Let’s Make a Deal, stále populární v několika zemích, která měla premiéru ve Spojených státech v roce 1963. (Pamatuji si pokaždé, když jsem jako dítě sledoval tento pořad, když jsem kvůli nemoci nechodil do školy.) Již v úvodu knihy jsem upozorňoval, že tento herní pořad může být zajímavý pro statistiky. Na konci každého jeho vydání stál účastník, který se dostal do finále, s Monty Hallem před tři velké dveře: dveře č. 1, dveře č. 2 a dveře č. 3. Monty Hall vysvětlil finalistovi, že za jedněmi těchto dveří byla velmi cenná cena - např. nové auto a za dalšími dvěma koza. Finalista si musel vybrat jedny z dveří a dostat to, co za nimi bylo. (Nevím, jestli se mezi účastníky přehlídky našel alespoň jeden člověk, který si chtěl pořídit kozu, ale pro jednoduchost budeme předpokládat, že naprostá většina účastníků snila o novém autě.)

Počáteční pravděpodobnost výhry je poměrně snadné určit. Jsou tam troje dveře, dvoje skrývají kozu a třetí skrývá auto. Když účastník show stojí před těmito dveřmi s Monty Hall, má jednu ze tří šancí vybrat si dveře, za kterými se auto nachází. Ale, jak je uvedeno výše, v Let’s Make a Deal je háček, který zvěčnil tento televizní program a jeho moderátora v literatuře o teorii pravděpodobnosti. Poté, co finalista show ukáže na jedny ze tří dveří, otevře Monty Hall jedny ze dvou zbývajících dveří, za kterými je vždy koza. Poté se Monty Hall ptá finalisty, zda chce změnit názor, tedy opustit dříve vybrané zavřené dveře ve prospěch jiných zavřených dveří.

Řekněme pro příklad, že účastník ukázal na dveře č. 1. Poté Monty Hall otevřel dveře č. 3, za kterými se schovávala koza. Dvoje dveře, dveře č. 1 a dveře č. 2, zůstávají zavřené. Pokud by hodnotná cena byla za dveřmi č. 1, finalista by ji vyhrál, a pokud by byla za dveřmi č. 2, pak by prohrál. V tomto okamžiku se Monty Hall ptá hráče, zda chce změnit svou původní volbu (v tomto případě opustit dveře č. 1 ve prospěch dveří č. 2). Samozřejmě si budete pamatovat, že obě dveře jsou stále zavřené. Jedinou novou informací, kterou účastník obdržel, bylo, že koza skončila za jedněmi ze dvou dveří, které si nevybral.

Měl by finalista opustit původní volbu ve prospěch dveří č. 2?

Odpovídám: ano, mělo by. Pokud se bude držet původní volby, pak pravděpodobnost výhry hodnotné ceny bude ⅓; pokud si to rozmyslí a ukáže na dveře č. 2, pak pravděpodobnost výhry hodnotné ceny bude ⅔. Pokud mi nevěříte, čtěte dál.

Přiznám se, že tato odpověď není na první pohled zřejmá. Zdá se, že ať už si finalista vybere kterékoli ze zbývajících dvou dveří, pravděpodobnost získání hodnotné ceny je v obou případech ⅓. Jsou tam tři zavřené dveře. Zpočátku je pravděpodobnost, že se za některým z nich skrývá hodnotná cena, ⅓. Změní se nějak finalistovo rozhodnutí změnit svou volbu ve prospěch dalších zavřených dveří?

Samozřejmě, protože háček je v tom, že Monty Hall ví, co je za každým dveřmi. Pokud si finalista vybere dveře č. 1 a za nimi skutečně stojí auto, Monty Hall může otevřít dveře č. 2 nebo dveře č. 3 a odhalit kozu, která za nimi číhá.

Pokud finalista vybere dveře 1 a auto je za dveřmi 2, Monty Hall otevře dveře 3.

Pokud finalista ukáže na dveře 1 a auto je za dveřmi 3, Monty Hall otevře dveře 2.

Tím, že si to rozmyslí poté, co moderátorka otevře jedny z dveří, získá finalista výhodu výběru dvoje dveří místo jedněch. Pokusím se vás přesvědčit o správnosti této analýzy třemi různými způsoby.

První je empirický. V roce 2008 psal publicista New York Times John Tyerney o fenoménu Monty Hall. Poté zaměstnanci publikace vyvinuli interaktivní program, který vám umožní hrát tuto hru a nezávisle se rozhodnout, zda změníte svou původní volbu nebo ne. (Program dokonce počítá s kozičkami a autičkami, které se objevují zpoza dveří.) Program zaznamená vaši výhru v případě, že změníte svou původní volbu, a v případě, že nebudete přesvědčeni. Zaplatil jsem jedné ze svých dcer, aby tuto hru hrála 100krát, pokaždé jsem změnila její původní volbu. Zaplatil jsem také jejímu bratrovi, aby hru hrál 100krát a pokaždé dodržel původní rozhodnutí. Dcera vyhrála 72krát; její bratr 33krát. Každá snaha byla odměněna dvěma dolary.

Důkazy z epizod hry Let’s Make a Deal ukazují stejný vzorec. Podle Leonarda Mlodinova, autora knihy The Drunkard's Walk, měli ti finalisté, kteří změnili svou původní volbu, asi dvakrát větší šanci na výhru než ti, kteří o tom nebyli přesvědčeni.

Mé druhé vysvětlení tohoto jevu je založeno na intuici. Řekněme, že se pravidla hry mírně změnila. Například finalista začíná výběrem jedněch ze tří dveří: Dveře č. 1, Dveře # 2 a Dveře # 3, jak bylo původně plánováno. Nicméně poté, než otevře některé z dveří, za kterými se skrývá koza, se Monty Hall ptá: "Souhlasíte s tím, že se vzdáte své volby výměnou za otevření dvou zbývajících dveří?" Takže pokud jste zvolili dveře č. 1, můžete změnit názor ve prospěch dveří č. 2 a dveří č. 3. Pokud jste nejprve ukázali na dveře č. 3, můžete vybrat dveře č. 1 a dveře č. 2. A tak dále.

Nebylo by to pro vás nijak zvlášť obtížné rozhodnutí: je zcela zřejmé, že byste se měli vzdát počáteční volby ve prospěch dvou zbývajících dveří, protože to zvyšuje šance na výhru z ⅓ na ⅔. Nejzajímavější je, že právě to vám v podstatě Monty Hall nabízí ve skutečné hře po otevření dveří, za kterými se skrývá koza. Zásadním faktem je, že pokud byste dostali možnost vybrat si dvoje dveře, za jedněmi by se stejně schovávala koza. Když Monty Hall otevře dveře, za kterými je koza, a teprve poté se vás zeptá, zda souhlasíte se změnou své původní volby, výrazně to zvyšuje vaše šance na výhru hodnotné ceny! Monty Hall vám v podstatě říká: "Šance, že se za jedněmi ze dvou dveří, které jste si nevybrali napoprvé, schová hodnotná cena, je ⅔, což je stále více než ⅓!"

Můžete si to představit takto. Řekněme, že jste ukázali na dveře č. 1. Poté vám Monty Hall dává možnost opustit původní rozhodnutí ve prospěch dveří č. 2 a dveří č. 3. Souhlasíte a máte k dispozici dvoje dveře, což znamená, že máte každý důvod očekává, že vyhrajete hodnotnou cenu s pravděpodobností ⅔, nikoli ⅓. Co by se stalo, kdyby v tuto chvíli Monty Hall otevřel dveře 3 – jedny z „vašich“dveří – a za nimi byla koza? Otřásla by tato skutečnost vaší důvěrou ve vaše rozhodnutí? Samozřejmě že ne. Kdyby se auto schovávalo za dveřmi 3, Monty Hall by otevřel dveře 2! Nic by ti neukázal.

Když se hra hraje podle vyřazovacího scénáře, Monty Hall vám skutečně dává na výběr mezi dveřmi, které jste určili na začátku, a dvěma zbývajícími dveřmi, z nichž jedním může být auto. Když Monty Hall otevře dveře, za kterými se skrývá koza, dělá vám jednoduše službu tím, že vám ukazuje, které z dalších dvou dveří není auto. Máte stejnou pravděpodobnost výhry v obou následujících scénářích.

Vyberte dveře č. 1 a poté souhlasíte s „přepnutím“na dveře č. 2 a dveře č. 3 ještě před otevřením jakýchkoli dveří.
Vyberte dveře č. 1 a poté souhlasíte s „přepnutím“na dveře č. 2 poté, co vám Monty Hall ukáže kozu za dveřmi č. 3 (nebo zvolíte dveře č. 3 poté, co vám Monty Hall ukáže kozu za dveřmi č. 2).

V obou případech vám opuštění původního rozhodnutí dává výhodu dvou dveří oproti jedněm a můžete tak zdvojnásobit své šance na výhru z ⅓ na ⅔.

Moje třetí možnost je radikálnější verze stejné základní intuice. Řekněme, že Monty Hall vás požádá, abyste si vybrali jedny ze 100 dveří (místo jedněch ze tří). Poté, co to uděláte, řekněme, že ukážete na dveře č. 47, otevře zbývajících 98 dveří, které odhalí kozy. Nyní zůstávají zavřené pouze dvoje dveře: vaše dveře č. 47 a další, například dveře č. 61. Měli byste se své původní volby vzdát?

Samozřejmě ano! S 99procentní pravděpodobností je auto za jedněmi z dveří, které jste si původně nevybrali. Monty Hall vám udělal zdvořilost otevřením 98 těchto dveří, za nimi nebylo žádné auto. Existuje tedy pouze šance 1 ku 100, že vaše původní volba (dveře č. 47) bude správná. Zároveň existuje pravděpodobnost 99 ze 100, že vaše původní volba byla špatná. Pokud ano, pak se auto nachází za zbývajícími dveřmi, tedy dveřmi č. 61. Pokud chcete hrát s pravděpodobností výhry 99krát ze 100, pak byste se měli „přepnout“na dveře č. 61.

Stručně řečeno, pokud budete muset někdy hrát Let’s Make a Deal, budete určitě muset ustoupit od svého původního rozhodnutí, až vám dá Monty Hall (nebo kdo ho nahradí) na výběr. Univerzálnější závěr z tohoto příkladu je, že vaše intuitivní dohady o pravděpodobnosti určitých událostí vás mohou někdy zmást.